在單變量微積分中，定積分 $\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x$ 描繪出曲線下的淨面積。當我們進入三維空間時，我們將此邏輯延伸，以求得 體積 曲面 $z = f(x, y)$ 下方的體積。
1. 正式定義
我們將函數 $f$ 在閉矩形 $R = [a, b] \times [c, d]$ 上的二重積分定義為雙重黎曼和的極限：
$$\iint_R f(x, y) \, dA = \lim_{m, n \to \infty} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(x_{ij}^*) \Delta A$$
其中 $\Delta A = \Delta x \Delta y$ 是子矩形 $R_{ij}$ 的面積，而 $(x_{ij}^*, y_{ij}^*)$ 為 $R_{ij}$ 中任意取樣點。
1. 幾何分割： 將 $R$ 分割成 $m \times n$ 個子矩形 $R_{ij}$，其中 $x_i = a + i\Delta x$，$y_j = c + j\Delta y$。
2. 立體近似： 對每個 $R_{ij}$，構造一個高度為 $f(x_{ij}^*, y_{ij}^*)$ 的柱體。立體 $S$ 的體積 $V$ 可近似為 $V \approx \sum \sum f(x_{ij}^*, y_{ij}^*) \Delta A$。
3. 極限： 當網格無限細膩時（$m, n \to \infty$），近似值收斂至精確體積。
2. 平均值定理
如同一維曲線的平均高度為 $\frac{1}{b-a}\int f(x)dx$，曲面 $z=f(x,y)$ 在區域 $R$ 上的平均值為：
$$f_{ave} = \frac{1}{A(R)} \iint_R f(x, y) \, dA$$
此 $f_{ave}$ 代表一個底面為 $R$ 的單一長方體的高度，該長方體所包含的體積與表面下方複雜立體的體積相同。